Директориальное свойство эллипса

Точка $M$ лежит на эллипсе $\iff$ отношение расстояния от $M$ до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету $e$: $$\dfrac{|MF|}{d(M, \text{директриса})} = e$$

$\Large\implies$ Пусть $M(x,y)$ принадлежит эллипсу. Тогда для фокуса $F_2(c,0)$: $$MF_2 = a - ex, \quad d\left(M, ~x=\dfrac{a}{e}\right) = \dfrac{a}{e} - x$$ Значит: $$\dfrac{MF_2}{d} = \dfrac{a - ex}{\dfrac{a}{e} - x} = e \cdot \dfrac{\dfrac{a}{e} - x}{\dfrac{a}{e} - x} = e$$ Аналогично для $F_1(-c,0)$ и $x = -\dfrac{a}{e}$. $\Large\impliedby$ Пусть для $F_2(c,0)$ и директрисы $x = \dfrac{a}{e}$ выполняется: $$\dfrac{MF_2}{d} = e \iff \dfrac{\sqrt{(x - c)^2 + y^2}}{\dfrac{a}{e} - x} = e$$ Домножим на знаменатель и возведём в квадрат: $$(x - c)^2 + y^2 = e^2 \left( \dfrac{a}{e} - x \right)^2$$ Подставим $c = ae$: $$(x - ae)^2 + y^2 = e^2 \left( \dfrac{a}{e} - x \right)^2$$ Раскроем скобки: $$x^2 - 2aex + a^2e^2 + y^2 = a^2 - 2aex + e^2x^2$$ Упростим: $$x^2(1 - e^2) + y^2 = a^2(1 - e^2)$$ Используя $b^2 = a^2(1 - e^2)$, получим: $$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $\square$